عند الرسم البياني ، المعادلات التربيعية للصيغة فأس2 + ب س + ج أو أ (س - ح)2 + ك إعطاء منحنى سلس على شكل حرف U أو عكسي على شكل حرف U يسمى القطع المكافئ. إن رسم المعادلة التربيعية بالرسم البياني هو مسألة إيجاد رأسها واتجاهها ، وفي كثير من الأحيان ، تقاطعها x و y. في حالات المعادلات التربيعية البسيطة نسبيًا ، قد يكون كافيًا أيضًا توصيل نطاق من قيم x ورسم منحنى بناءً على النقاط الناتجة. انظر الخطوة 1 أدناه للبدء.
خطوات
الخطوة الأولى. حدد شكل المعادلة التربيعية التي لديك
يمكن كتابة المعادلة التربيعية في ثلاثة أشكال مختلفة: الصيغة القياسية ، وصيغة الرأس ، والصيغة التربيعية. يمكنك استخدام أي من النموذجين لرسم معادلة تربيعية ؛ تختلف عملية رسم كل منها قليلاً. إذا كنت تقوم بأداء واجب منزلي ، فستتلقى عادةً المشكلة في أحد هذين الشكلين - بمعنى آخر ، لن تتمكن من الاختيار ، لذلك من الأفضل فهم كليهما. شكلا المعادلة التربيعية هما:
-
النموذج القياسي.
في هذا النموذج ، تتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: f (x) = ax2 + bx + c حيث a و b و c أعداد حقيقية و a لا تساوي صفرًا.
على سبيل المثال ، معادلتان قياسيتان من الدرجة الثانية هما f (x) = x2 + 2x + 1 و f (x) = 9x2 + 10x -8.
-
شكل الرأس.
في هذا النموذج ، تتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: f (x) = a (x - h)2 + k حيث a و h و k أعداد حقيقية و a لا تساوي صفرًا. سمي الشكل الرأسي بهذا الاسم لأن h و k يعطيانك مباشرة الرأس (النقطة المركزية) للقطع المكافئ الخاص بك عند النقطة (h ، k).
معادلتان بصيغة الرأس هما f (x) = 9 (x - 4)2 + 18 و -3 (× - 5)2 + 1
- لرسم أي من هذين النوعين من المعادلات ، نحتاج أولاً إلى إيجاد رأس القطع المكافئ ، وهو النقطة المركزية (h ، k) عند "طرف" المنحنى. يتم إعطاء إحداثيات الرأس في الشكل القياسي بواسطة: h = -b / 2a و k = f (h) ، بينما في شكل قمة الرأس ، يتم تحديد h و k في المعادلة.
الخطوة 2. تحديد المتغيرات الخاصة بك
لتكون قادرًا على حل مشكلة تربيعية ، يجب عادةً تحديد المتغيرات a و b و c (أو a و h و k). ستمنحك مشكلة الجبر المتوسطة معادلة من الدرجة الثانية مع ملء المتغيرات ، عادة في شكل قياسي ، ولكن في بعض الأحيان في شكل قمة.
- على سبيل المثال ، معادلة النموذج القياسي f (x) = 2x2 + 16x + 39 ، لدينا أ = 2 ، ب = 16 ، ج = 39.
- بالنسبة إلى المعادلة بصيغة الرأس f (x) = 4 (x - 5)2 + 12 ، لدينا أ = 4 ، ع = 5 ، ك = 12.
الخطوة 3. احسب h
في معادلات صيغة الرأس ، تم إعطاء قيمة h بالفعل ، ولكن في معادلات النموذج القياسي ، يجب حسابها. تذكر أنه بالنسبة للمعادلات النموذجية ، h = -b / 2a.
- في مثالنا القياسي (f (x) = 2x2 + 16x + 39) ، h = -b / 2a = -16/2 (2). بالحل ، نجد أن h = - 4.
- في مثالنا على شكل الرأس (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12) ، نعلم أن h = 5 دون القيام بأي حسابات.
الخطوة 4. احسب k
كما هو الحال مع h ، فإن k معروف بالفعل في معادلات صيغة الرأس. بالنسبة للمعادلات النموذجية ، تذكر أن k = f (h). بعبارة أخرى ، يمكنك إيجاد k باستبدال كل مثيل لـ x في معادلتك بالقيمة التي وجدتها للتو لـ h.
-
لقد حددنا في مثالنا القياسي أن h = -4. لإيجاد k ، نحل معادلتنا بقيمة h بدلًا من x:
- ك = 2 (-4)2 + 16(-4) + 39.
- ك = 2 (16) - 64 + 39.
-
ك = 32 - 64 + 39 =
الخطوة 7.
- في مثالنا على شكل الرأس ، نعرف مرة أخرى قيمة k (وهي 12) دون الحاجة إلى إجراء أي حسابات.
الخطوة 5. ارسم رأسك
سيكون رأس القطع المكافئ الخاص بك هو النقطة (h ، k) - تحدد h إحداثي x ، بينما تحدد k إحداثي y. الرأس هو النقطة المركزية في القطع المكافئ - إما الجزء السفلي من حرف "U" أو قمة "U" المقلوبة رأساً على عقب. تعد معرفة الرأس جزءًا أساسيًا من رسم رسم بياني دقيق للقطع المكافئ - غالبًا ، في العمل المدرسي ، سيكون تحديد الرأس جزءًا مطلوبًا من السؤال.
- في مثالنا القياسي ، سيكون رأسنا عند (-4 ، 7). لذا ، فإن القطع المكافئ الخاص بنا سيبلغ 4 مسافات على يسار 0 و 7 مسافات فوق (0 ، 0). يجب أن نرسم هذه النقطة على التمثيل البياني ، مع التأكد من تسمية الإحداثيات.
- في مثالنا على شكل الرأس ، يكون الرأس عند (5 ، 12). يجب أن نرسم نقطة 5 مسافات إلى اليمين و 12 مسافة فوق (0 ، 0).
الخطوة 6. ارسم محور القطع المكافئ (اختياري)
محور التناظر للقطع المكافئ هو الخط الذي يمر عبر وسطه والذي يقسمه تمامًا إلى نصفين. عبر هذا المحور ، سيعكس الجانب الأيسر من القطع المكافئ الجانب الأيمن. من أجل التربيعية للفأس النموذج2 + ب س + ج أو أ (س - ح)2 + k ، المحور عبارة عن خط موازٍ للمحور y (بمعنى آخر ، عمودي تمامًا) ويمر عبر الرأس.
في حالة مثالنا القياسي ، يكون المحور عبارة عن خط موازٍ للمحور y ويمر بالنقطة (-4 ، 7). على الرغم من أنه ليس جزءًا من القطع المكافئ نفسه ، إلا أن وضع علامة طفيفة على هذا الخط على الرسم البياني الخاص بك يمكن أن يساعدك في النهاية على رؤية كيف ينحني القطع المكافئ بشكل متماثل
الخطوة 7. ابحث عن اتجاه الفتح
بعد تحديد رأس ومحور القطع المكافئ ، نحتاج بعد ذلك إلى معرفة ما إذا كان القطع المكافئ ينفتح لأعلى أو لأسفل. لحسن الحظ ، هذا سهل. إذا كان الحرف "a" موجبًا ، سيفتح القطع المكافئ لأعلى ، بينما إذا كان الحرف "a" سالبًا ، سيفتح القطع المكافئ لأسفل (أي أنه سينقلب رأسًا على عقب).
- بالنسبة لمثال النموذج القياسي لدينا (f (x) = 2x2 + 16x + 39) ، نعلم أن لدينا قطع مكافئ يفتح لأعلى لأنه في معادلتنا ، a = 2 (موجب).
- بالنسبة لمثال شكل الرأس (f (x) = 4 (x - 5)2 + 12) ، نعلم أن لدينا أيضًا قطع مكافئ يفتح لأعلى لأن أ = 4 (موجب).
الخطوة 8. إذا لزم الأمر ، ابحث عن نقاط الاعتراض x ورسمها
في كثير من الأحيان ، في الواجبات المدرسية ، سيُطلب منك العثور على القطع المكافئ x للاعتراضات (والتي تكون إما نقطة أو نقطتين حيث يلتقي القطع المكافئ مع المحور x). حتى لو لم تعثر عليها ، يمكن أن تكون هاتان النقطتان لا تقدر بثمن لرسم القطع المكافئ الدقيق. ومع ذلك ، لا تحتوي كل القطع المكافئة على تقاطعات س. إذا كان القطع المكافئ الخاص بك يحتوي على رأس ينفتح لأعلى وله رأس فوق المحور x أو إذا كان ينفتح لأسفل وله رأس أسفل المحور x ، لن يكون لها أي اعتراضات x. خلافًا لذلك ، قم بحل تقاطعات x بإحدى الطرق التالية:
-
ما عليك سوى تعيين f (x) = 0 وحل المعادلة. قد تعمل هذه الطريقة مع المعادلات التربيعية البسيطة ، خاصة في شكل الرأس ، ولكنها ستثبت أنها صعبة للغاية بالنسبة للمعادلات الأكثر تعقيدًا. إنظر في الأسفل للمثال
- و (س) = 4 (س - 12)2 - 4
- 0 = 4 (× - 12)2 - 4
- 4 = 4 (× - 12)2
- 1 = (س - 12)2
- SqRt (1) = (x - 12)
- +/- 1 = س -12. س = 11 و 13 هي قطع القطع المكافئ x.
-
حلل المعادلة إلى عوامل. بعض المعادلات في الفأس2 + يمكن تحليل النموذج + bx + c بسهولة في الشكل (dx + e) (fx + g) ، حيث dx × fx = ax2، (dx × g + fx × e) = bx ، و e × g = c. في هذه الحالة ، تقاطعات x الخاصة بك هي قيم x التي تجعل أي من المصطلحين بين قوسين = 0. على سبيل المثال:
- x2 + 2x + 1
- = (س + 1) (س + 1)
- في هذه الحالة ، تقاطع x الوحيد هو -1 لأن ضبط x يساوي -1 سيجعل أيًا من الحدود المحللة في الأقواس تساوي 0.
-
استخدم الصيغة التربيعية. إذا لم تتمكن من حل تقاطعات x بسهولة أو تحليل المعادلة ، فاستخدم معادلة خاصة تسمى الصيغة التربيعية المصممة لهذا الغرض بالذات. إذا لم يكن موجودًا بالفعل ، فاحصل على المعادلة في صيغة ax2 + bx + c ، ثم عوض عن a و b و c في الصيغة x = (-b +/- SqRt (b2 - 4 أ)) / 2 أ. لاحظ أن هذا غالبًا ما يمنحك إجابتين لـ x ، وهو أمر جيد - هذا يعني فقط أن القطع المكافئ الخاص بك يحتوي على نقطتي تقاطع x. إنظر في الأسفل للمثال:
- -5x2 يتم إدخال + 1x + 10 في الصيغة التربيعية على النحو التالي:
- س = (-1 +/- SqRt (12 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
- x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
- س = (-1 +/- 14.18) / - 10
- س = (13.18 / -10) و (-15.18 / -10). تقاطع القطع المكافئ x عند x = تقريبًا - 1.318 و 1.518
- مثالنا القياسي السابق ، 2x2 يتم إدخال + 16x + 39 في الصيغة التربيعية على النحو التالي:
- س = (-16 +/- سكرت (162 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- SqRt (256-312)) / 4
- x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
- نعرف ذلك لأن إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب مستحيل لا x اعتراضات موجودة لهذا القطع المكافئ.
الخطوة 9. إذا لزم الأمر ، ابحث عن تقاطع y ورسمه
على الرغم من أنه ليس من الضروري غالبًا العثور على تقاطع y للمعادلة (النقطة التي يمر عندها القطع المكافئ عبر المحور y) ، فقد يُطلب منك ذلك في النهاية ، خاصةً إذا كنت في المدرسة. هذه العملية سهلة إلى حد ما - ما عليك سوى تعيين x = 0 ، ثم حل المعادلة الخاصة بك لـ f (x) أو y ، والتي تعطيك القيمة y التي يمر بها القطع المكافئ عبر المحور y. على عكس تقاطعات x ، يمكن أن يكون للقطوع المكافئة القياسية تقاطع y واحد فقط. ملاحظة - بالنسبة إلى معادلات الصيغة القياسية ، يكون التقاطع y عند y = c.
-
على سبيل المثال ، نعرف المعادلة التربيعية 2x2 + 16x + 39 له تقاطع y عند y = 39 ، ولكن يمكن العثور عليه أيضًا على النحو التالي:
- و (س) = 2 س2 +16 س + 39
- و (س) = 2 (0)2 + 16(0) + 39
-
f (x) = 39. قطع القطع المكافئ y يقع عند ص = 39.
كما هو مذكور أعلاه ، يقع تقاطع y عند y = c.
-
معادلة صيغة الرأس 4 (x - 5)2 + 12 له تقاطع y يمكن العثور عليه على النحو التالي:
- و (س) = 4 (س - 5)2 + 12
- و (س) = 4 (0-5)2 + 12
- و (س) = 4 (-5)2 + 12
- و (س) = 4 (25) + 12
-
f (x) = 112. تقاطع القطع المكافئ y عند ص = 112.
الخطوة 10. إذا لزم الأمر ، ارسم نقاطًا إضافية ، ثم رسم بيانيًا
يجب أن يكون لديك الآن رأس واتجاه وتقاطع (تقاطعات) x ، وربما تقاطع y لمعادلتك. في هذه المرحلة ، يمكنك إما محاولة رسم القطع المكافئ باستخدام النقاط التي لديك كمبدأ توجيهي ، أو يمكنك العثور على المزيد من النقاط "لملء" القطع المكافئ الخاص بك بحيث يكون المنحنى الذي ترسمه أكثر دقة. أسهل طريقة للقيام بذلك هي ببساطة إدخال بعض قيم x على جانبي الرأس ، ثم رسم هذه النقاط باستخدام قيم y التي تحصل عليها. في كثير من الأحيان ، سيطلب منك المدرسون الحصول على عدد معين من النقاط قبل رسم القطع المكافئ.
-
دعنا نعيد النظر في المعادلة س2 + 2x + 1. نعلم بالفعل أن تقاطع x الوحيد هو عند x = -1. نظرًا لأنه يلامس تقاطع x فقط عند نقطة واحدة ، يمكننا أن نستنتج أن رأسه هو نقطة تقاطع x ، مما يعني أن رأسه هو (-1 ، 0). لدينا فعليًا نقطة واحدة فقط لهذا القطع المكافئ - ليست كافية تقريبًا لرسم قطع مكافئ جيد. دعنا نجد المزيد للتأكد من أننا نرسم رسمًا بيانيًا دقيقًا.
- لنجد قيم y لقيم x التالية: 0 و 1 و -2 و -3.
- لـ 0: f (x) = (0)2 + 2 (0) + 1 = 1. وجهة نظرنا هي (0, 1).
-
لـ 1: f (x) = (1)2 + 2 (1) + 1 = 4. وجهة نظرنا هي (1, 4).
- من أجل -2: f (x) = (-2)2 + 2 (-2) + 1 = 1. وجهة نظرنا هي (-2, 1).
-
ل -3: و (س) = (-3)2 + 2 (-3) + 1 = 4. وجهة نظرنا هي (-3, 4).
- ارسم هذه النقاط على الرسم البياني وارسم منحنى على شكل حرف U. لاحظ أن القطع المكافئ متماثل تمامًا - عندما تقع نقاطك على جانب واحد من القطع المكافئ على أعداد صحيحة ، يمكنك عادةً توفير بعض الأعمال عن طريق عكس نقطة معينة عبر محور تناظر القطع المكافئ للعثور على النقطة المقابلة على الجانب الآخر من القطع المكافئ.
فيديو - باستخدام هذه الخدمة ، قد تتم مشاركة بعض المعلومات مع YouTube
نصائح
- لاحظ أنه في f (x) = ax2 + bx + c ، إذا كان b أو c يساوي صفرًا ، تختفي هذه الأرقام. على سبيل المثال ، 12x2 + 0x + 6 يصبح 12x2 + 6 لأن 0x تساوي 0.
- تقريب الأرقام أو استخدم الكسور كما يخبرك مدرس الجبر. سيساعدك هذا في رسم معادلاتك التربيعية بشكل صحيح.
